Probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi situasi yang melibatkan ketidakpastian - dari prakiraan cuaca hingga peluang menang dalam permainan, dari prediksi pasar saham hingga keputusan bisnis strategis. Pemahaman yang solid tentang probabilitas membantu kita membuat keputusan yang lebih baik dalam menghadapi ketidakpastian ini.
Artikel ini akan membahas secara komprehensif konsep-konsep fundamental dalam probabilitas, termasuk jenis-jenis probabilitas, aturan-aturan perhitungan probabilitas, serta teknik-teknik counting yang essential untuk menyelesaikan masalah probabilitas kompleks.
๐ Daftar Isi
- 1. Konsep Dasar Probability Experiments
- 2. Classical (Theoretical) Probability
- 3. Empirical (Statistical) Probability
- 4. Subjective Probability
- 5. Complementary Events
- 6. Conditional Probability
- 7. Independent dan Dependent Events
- 8. Multiplication Rule
- 9. Mutually Exclusive Events
- 10. Addition Rule
- 11. Counting Principles
- 12. Permutations
- 13. Combinations
1. Konsep Dasar Probability Experiments
๐ Definisi Penting
Probability Experiment (Eksperimen Probabilitas) adalah suatu tindakan di mana hasil-hasil spesifik (counts, measurements, atau responses) dapat diperoleh.
Outcome (Hasil) adalah hasil dari satu percobaan tunggal dalam eksperimen probabilitas.
Sample Space (Ruang Sampel) adalah himpunan dari semua kemungkinan outcomes untuk suatu eksperimen. Dilambangkan dengan S.
Event (Kejadian) adalah subset dari sample space yang terdiri dari satu atau lebih outcomes.
Simple Event (Kejadian Sederhana) adalah event yang hanya terdiri dari satu outcome tunggal.
Probability Experiment: Melempar sebuah dadu dan mengamati angka yang muncul
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Total outcomes = 6
Event A: Melempar angka genap
Ini bukan simple event karena terdiri dari 3 outcomes
Event B: Melempar angka 5
Ini adalah simple event karena hanya terdiri dari 1 outcome
- Semua possible outcomes harus termasuk dalam sample space
- Outcomes dalam sample space harus mutually exclusive (saling terpisah)
- Outcomes harus collectively exhaustive (mencakup semua kemungkinan)
- Notasi: S atau ฮฉ (omega)
2. Classical (Theoretical) Probability
Classical probability atau theoretical probability digunakan ketika setiap outcome dalam sample space memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi (equally likely outcomes).
P(E) = (Number of outcomes in event E) / (Total number of outcomes in sample space)
P(E) = n(E) / n(S)
Sebuah dadu dilempar. Tentukan probabilitas Event A: melempar angka 5.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
Event A:
A = {5}
n(A) = 1
Perhitungan:
P(A) = n(A) / n(S)
P(A) = 1 / 6
P(A) ≈ 0.167 atau 16.7%
Interpretasi:
Peluang melempar angka 5 adalah 1/6 atau sekitar 16.7%
Sebuah dadu dilempar. Tentukan probabilitas Event B: melempar angka genap.
B = {2, 4, 6}
n(B) = 3
Perhitungan:
P(B) = n(B) / n(S)
P(B) = 3 / 6
P(B) = 1 / 2
P(B) = 0.5 atau 50%
Interpretasi:
Peluang melempar angka genap adalah 1/2 atau 50%
3. Empirical (Statistical) Probability
Empirical probability atau statistical probability didasarkan pada observasi yang diperoleh dari eksperimen probabilitas. Empirical probability adalah frekuensi relatif dari suatu event.
P(E) = (Frequency of event E) / (Total number of observations)
P(E) = f / n
Seorang agen perjalanan menentukan bahwa dari setiap 50 reservasi yang dia buat, 12 reservasi adalah untuk cruise (perjalanan kapal pesiar). Berapa probabilitas bahwa reservasi berikutnya adalah untuk cruise?
Total reservasi = 50
Reservasi untuk cruise = 12
Perhitungan:
P(cruise) = f / n
P(cruise) = 12 / 50
P(cruise) = 0.24 atau 24%
Interpretasi:
Berdasarkan data historis, probabilitas reservasi berikutnya
adalah untuk cruise adalah 24%
3.1 Law of Large Numbers
Ketika suatu eksperimen diulang berkali-kali (dalam jumlah besar), empirical probability dari suatu event akan mendekati theoretical (actual) probability dari event tersebut.
Contoh Ilustrasi: Jika Anda melempar koin yang adil:
- 10 lemparan: Mungkin mendapat 7 heads (70%) - jauh dari 50%
- 100 lemparan: Mungkin mendapat 48 heads (48%) - mendekati 50%
- 1000 lemparan: Mungkin mendapat 503 heads (50.3%) - sangat dekat dengan 50%
- 10,000 lemparan: Akan sangat dekat dengan 5000 heads (50%)
Distribusi frekuensi berikut merepresentasikan usia 30 mahasiswa dalam kelas statistik. Berapa probabilitas bahwa seorang mahasiswa berusia antara 26 dan 33 tahun?
| Kelas Usia | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 18 – 25 | 13 |
| 26 – 33 | 8 |
| 34 – 41 | 4 |
| 42 – 49 | 3 |
| 50 – 57 | 2 |
| Total | n = 30 |
P(usia 26-33) = f(26-33) / n
P(usia 26-33) = 8 / 30
P(usia 26-33) = 4 / 15
P(usia 26-33) ≈ 0.267 atau 26.7%
Interpretasi:
Probabilitas memilih secara acak seorang mahasiswa yang berusia
antara 26 dan 33 tahun adalah sekitar 26.7%
4. Subjective Probability
Subjective probability adalah probabilitas yang dihasilkan dari intuisi, educated guesses, dan estimasi berdasarkan pengalaman atau pengetahuan subjektif.
Seorang analis bisnis memprediksi bahwa probabilitas serikat pekerja tertentu akan mogok kerja adalah 0.15 (atau 15%).
Probabilitas ini didasarkan pada:
• Pengalaman analis dengan industri tersebut
• Kondisi ekonomi saat ini
• Riwayat negosiasi dengan manajemen
• Sentimen pekerja yang diamati
Ini BUKAN berdasarkan perhitungan matematis atau data historis,
melainkan penilaian subjektif yang informed.
| Jenis | Dasar | Contoh |
|---|---|---|
| Classical | Equally likely outcomes | Melempar dadu, koin |
| Empirical | Data historis/observasi | Frekuensi kecelakaan, penjualan |
| Subjective | Intuisi, expertise | Prediksi pasar, cuaca |
4.1 Range of Probabilities Rule
Probabilitas dari event E adalah antara 0 dan 1, inklusif:
0 ≤ P(E) ≤ 1
atau dalam persentase:
0% ≤ P(E) ≤ 100%
- P(E) = 0: Event E mustahil terjadi (impossible event)
- P(E) = 1: Event E pasti terjadi (certain event)
- 0 < P(E) < 0.5: Event E kemungkinan kecil terjadi
- P(E) = 0.5: Event E memiliki peluang 50-50
- 0.5 < P(E) < 1: Event E kemungkinan besar terjadi
5. Complementary Events
Complement dari Event E adalah himpunan semua outcomes dalam sample space yang TIDAK termasuk dalam event E. Dilambangkan dengan E' (dibaca "E prime") atau E̅.
P(E) + P(E') = 1
atau
P(E') = 1 − P(E)
P(E) = 1 − P(E')
Visualisasi Complementary Events
┌────────────────────────────────┐
│ │
│ ┌──────────┐ │
│ │ │ │
│ │ E │ E' │
│ │ │ (Bukan E) │
│ └──────────┘ │
│ │
└────────────────────────────────┘
E ∪ E' = S (E gabung E' = seluruh S)
E ∩ E' = ∅ (E irisan E' = himpunan kosong)
Ada 5 chip merah, 4 chip biru, dan 6 chip putih dalam keranjang. Tentukan probabilitas memilih chip yang BUKAN biru secara acak.
Chip merah = 5
Chip biru = 4
Chip putih = 6
Total chip = 5 + 4 + 6 = 15
Metode 1: Langsung
Chip yang bukan biru = 5 + 6 = 11
P(bukan biru) = 11 / 15 ≈ 0.733 atau 73.3%
Metode 2: Menggunakan Complement
P(biru) = 4 / 15
P(bukan biru) = P(biru') = 1 − P(biru)
P(bukan biru) = 1 − (4/15)
P(bukan biru) = (15/15) − (4/15)
P(bukan biru) = 11 / 15 ≈ 0.733 atau 73.3%
Kedua metode menghasilkan jawaban yang sama!
Gunakan complement ketika lebih mudah menghitung probabilitas event TIDAK terjadi daripada event terjadi. Contoh:
- "Setidaknya satu..." → Lebih mudah hitung "tidak ada satupun" lalu kurangi dari 1
- "Tidak semua..." → Lebih mudah hitung "semua" lalu kurangi dari 1
6. Conditional Probability
Conditional probability adalah probabilitas suatu event terjadi, dengan syarat (given that) event lain telah terjadi.
P(B | A)
dibaca: "Probability of B, given A"
atau "Probabilitas B, dengan syarat A telah terjadi"
Ada 5 chip merah, 4 chip biru, dan 6 chip putih dalam keranjang. Dua chip dipilih secara acak. Tentukan probabilitas chip kedua adalah merah, given chip pertama adalah biru. (Asumsi: chip pertama tidak dikembalikan)
Total chip = 15
Chip merah = 5
Chip biru = 4
Chip putih = 6
Setelah chip pertama (biru) dipilih dan TIDAK dikembalikan:
Total chip tersisa = 14
Chip merah tersisa = 5 (tidak berubah)
Chip biru tersisa = 3
Chip putih tersisa = 6 (tidak berubah)
Perhitungan:
P(merah di pilihan kedua | biru di pilihan pertama)
= Jumlah chip merah tersisa / Total chip tersisa
= 5 / 14
≈ 0.357 atau 35.7%
Interpretasi:
Given chip pertama adalah biru, probabilitas chip kedua
adalah merah adalah 5/14 atau sekitar 35.7%
100 mahasiswa disurvey tentang berapa jam per minggu mereka belajar. Hasilnya dalam tabel berikut. Tentukan probabilitas seorang mahasiswa belajar lebih dari 10 jam, given mahasiswa tersebut adalah laki-laki.
| Gender | < 5 jam | 5-10 jam | > 10 jam | Total |
|---|---|---|---|---|
| Laki-laki | 11 | 22 | 16 | 49 |
| Perempuan | 13 | 24 | 14 | 51 |
| Total | 24 | 46 | 30 | 100 |
Event A: Mahasiswa adalah laki-laki
Event B: Mahasiswa belajar lebih dari 10 jam
Kita mencari: P(B | A)
Sample space berubah!
Given mahasiswa adalah laki-laki, sample space kita sekarang
HANYA mahasiswa laki-laki = 49 mahasiswa
Dari 49 mahasiswa laki-laki, 16 belajar lebih dari 10 jam
Perhitungan:
P(>10 jam | laki-laki) = 16 / 49
≈ 0.327 atau 32.7%
Interpretasi:
Jika kita tahu mahasiswa adalah laki-laki, probabilitas dia
belajar lebih dari 10 jam per minggu adalah sekitar 32.7%
- Sample space berubah ketika ada informasi tambahan (condition)
- Fokus hanya pada bagian sample space yang memenuhi kondisi
- P(B|A) ≠ P(A|B) dalam kebanyakan kasus
7. Independent dan Dependent Events
7.1 Independent Events
Independent Events adalah dua event di mana terjadinya satu event TIDAK mempengaruhi probabilitas event lainnya.
P(B | A) = P(B)
atau
P(A | B) = P(A)
Memilih diamond dari deck kartu standar (A), mengembalikannya ke deck, kemudian memilih spade dari deck (B).
Event A: Memilih diamond
Event B: Memilih spade
P(B) = 13/52 = 1/4 (probabilitas memilih spade)
Setelah event A (memilih diamond) dan dikembalikan ke deck:
P(B | A) = 13/52 = 1/4 (probabilitas masih sama!)
Karena P(B | A) = P(B), event A dan B adalah INDEPENDENT
Kesimpulan:
Terjadinya event A (memilih diamond) TIDAK mempengaruhi
probabilitas event B (memilih spade).
7.2 Dependent Events
Dependent Events adalah events yang BUKAN independent. Terjadinya satu event mempengaruhi probabilitas event lainnya.
Memilih diamond dari deck kartu standar (A), TIDAK mengembalikannya, kemudian memilih spade dari deck (B).
Event A: Memilih diamond
Event B: Memilih spade
P(B) = 13/52 = 1/4 (probabilitas awal memilih spade)
Setelah event A (memilih diamond) dan TIDAK dikembalikan:
Kartu tersisa = 51
Spade tersisa = 13 (tidak berubah karena yang diambil diamond)
P(B | A) = 13/51 (probabilitas berubah!)
Karena P(B | A) ≠ P(B), event A dan B adalah DEPENDENT
Kesimpulan:
Terjadinya event A (memilih diamond tanpa pengembalian)
MEMPENGARUHI probabilitas event B (memilih spade) karena
total kartu berkurang.
Independent Events
- Satu event tidak mempengaruhi yang lain
- P(B|A) = P(B)
- Contoh: Melempar koin berkali-kali
- Contoh: Memilih dengan replacement
Dependent Events
- Satu event mempengaruhi yang lain
- P(B|A) ≠ P(B)
- Contoh: Memilih tanpa replacement
- Contoh: Mengambil kartu berurutan
8. Multiplication Rule
Multiplication Rule digunakan untuk menghitung probabilitas dua atau lebih events terjadi secara berurutan (in sequence).
P(A and B) = P(A) · P(B | A)
Multiplication Rule (untuk Independent Events):
Jika A dan B independent, maka:
P(A and B) = P(A) · P(B)
Dua kartu dipilih secara berurutan dari deck, tanpa replacement. Tentukan probabilitas memilih diamond, kemudian memilih spade.
Event A: Memilih diamond pertama
Event B: Memilih spade kedua
Perhitungan:
P(diamond and spade) = P(diamond) · P(spade | diamond)
P(diamond) = 13/52 = 1/4
Setelah diamond dipilih, kartu tersisa = 51
Spade tersisa = 13 (masih lengkap)
P(spade | diamond) = 13/51
P(diamond and spade) = (13/52) · (13/51)
= (1/4) · (13/51)
= 13/204
≈ 0.0637 atau 6.37%
Interpretasi:
Probabilitas memilih diamond kemudian spade (tanpa pengembalian)
adalah sekitar 6.37%
Sebuah dadu dilempar dan dua koin dilempar. Tentukan probabilitas melempar angka 5, dan mendapat dua tails.
Event A: Melempar 5 pada dadu
Event B: Mendapat tail pada koin pertama
Event C: Mendapat tail pada koin kedua
Perhitungan:
P(5 and T and T) = P(5) · P(T) · P(T)
P(5) = 1/6
P(T) = 1/2
P(T) = 1/2
P(5 and T and T) = (1/6) · (1/2) · (1/2)
= (1/6) · (1/4)
= 1/24
≈ 0.0417 atau 4.17%
Interpretasi:
Probabilitas melempar 5 pada dadu DAN mendapat dua tails
pada koin adalah 1/24 atau sekitar 4.17%
- Menggunakan multiplication rule untuk "OR" (seharusnya addition rule)
- Lupa menggunakan conditional probability untuk dependent events
- Menganggap events independent padahal dependent
9. Mutually Exclusive Events
Mutually exclusive events (events yang saling lepas) adalah dua atau lebih events yang TIDAK dapat terjadi pada saat yang bersamaan.
P(A and B) = 0
A ∩ B = ∅ (himpunan kosong)
Visualisasi Mutually Exclusive vs Not Mutually Exclusive
(Tidak ada overlap)
┌──────────────────────────────┐
│ │
│ ┌─────┐ ┌─────┐ │
│ │ A │ │ B │ │
│ └─────┘ └─────┘ │
│ │
└──────────────────────────────┘
NOT MUTUALLY EXCLUSIVE
(Ada overlap)
┌──────────────────────────────┐
│ │
│ ┌─────┐ │
│ │ A │ │
│ ┌──┴──┬──┴──┐ │
│ │ │ │ │
│ │ A∩B│ B │ │
│ └─────┴─────┘ │
│ │
└──────────────────────────────┘
Event A: Melempar angka kurang dari 3 pada dadu
Event B: Melempar angka 4 pada dadu
A = {1, 2}
B = {4}
A ∩ B = ∅ (tidak ada irisan)
Kesimpulan:
Events ini MUTUALLY EXCLUSIVE karena tidak mungkin melempar
angka yang kurang dari 3 DAN 4 pada saat yang bersamaan.
Event A: Memilih Jack dari deck kartu
Event B: Memilih heart dari deck kartu
A = {Jack of hearts, Jack of diamonds, Jack of clubs, Jack of spades}
B = {All 13 hearts}
A ∩ B = {Jack of hearts} ≠ ∅ (ada irisan!)
Kesimpulan:
Events ini NOT MUTUALLY EXCLUSIVE karena kartu bisa menjadi
Jack DAN heart pada saat yang bersamaan (Jack of hearts).
10. Addition Rule
Addition Rule digunakan untuk menghitung probabilitas setidaknya satu dari dua atau lebih events terjadi (event A ATAU event B).
P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B)
Addition Rule (untuk Mutually Exclusive Events):
Jika A dan B mutually exclusive, maka:
P(A or B) = P(A) + P(B)
Anda melempar dadu. Tentukan probabilitas melempar angka kurang dari 3 ATAU melempar angka 4.
Event A: Melempar angka kurang dari 3
A = {1, 2}
P(A) = 2/6 = 1/3
Event B: Melempar angka 4
B = {4}
P(B) = 1/6
Perhitungan:
P(A or B) = P(A) + P(B)
P(A or B) = (1/3) + (1/6)
P(A or B) = (2/6) + (1/6)
P(A or B) = 3/6
P(A or B) = 1/2 atau 50%
Interpretasi:
Probabilitas melempar angka kurang dari 3 atau 4 adalah 50%
Sebuah kartu dipilih secara acak dari deck. Tentukan probabilitas kartu tersebut adalah Jack ATAU heart.
(Jack of hearts termasuk di kedua events)
Event A: Memilih Jack
P(A) = 4/52 = 1/13
Event B: Memilih heart
P(B) = 13/52 = 1/4
Event A and B: Memilih Jack of hearts
P(A and B) = 1/52
Perhitungan:
P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B)
P(A or B) = (4/52) + (13/52) − (1/52)
P(A or B) = (4 + 13 − 1) / 52
P(A or B) = 16/52
P(A or B) = 4/13
P(A or B) ≈ 0.308 atau 30.8%
Mengapa kita kurangi P(A and B)?
Karena Jack of hearts terhitung dua kali (di P(A) dan P(B)),
jadi kita harus menguranginya sekali untuk menghindari
double counting.
100 mahasiswa disurvey tentang waktu belajar. Tentukan probabilitas seorang mahasiswa belajar antara 5-10 jam ATAU lebih dari 10 jam per minggu.
| Gender | < 5 jam | 5-10 jam | > 10 jam | Total |
|---|---|---|---|---|
| Laki-laki | 11 | 22 | 16 | 49 |
| Perempuan | 13 | 24 | 14 | 51 |
| Total | 24 | 46 | 30 | 100 |
(Mahasiswa tidak bisa belajar 5-10 jam DAN >10 jam bersamaan)
Event A: Belajar 5-10 jam
P(A) = 46/100 = 0.46
Event B: Belajar >10 jam
P(B) = 30/100 = 0.30
Perhitungan:
P(A or B) = P(A) + P(B)
P(A or B) = 0.46 + 0.30
P(A or B) = 0.76 atau 76%
Interpretasi:
Probabilitas mahasiswa belajar antara 5-10 jam atau lebih
dari 10 jam adalah 76%
11. Counting Principles
11.1 Fundamental Counting Principle
Jika event pertama dapat terjadi dengan m cara dan event kedua
dapat terjadi dengan n cara, maka jumlah cara kedua events dapat
terjadi secara berurutan adalah:
m × n
Aturan ini dapat diperluas untuk sejumlah events.
Sebuah hidangan terdiri dari main dish, side dish, dan dessert. Berapa banyak hidangan berbeda yang dapat dipilih jika tersedia 4 main dishes, 2 side dishes, dan 5 desserts?
Total kombinasi = (main dishes) × (side dishes) × (desserts)
Total kombinasi = 4 × 2 × 5
Total kombinasi = 40
Kesimpulan:
Ada 40 hidangan berbeda yang dapat dipilih.
Dua koin dilempar. Berapa banyak outcomes berbeda yang ada? Tuliskan sample space-nya.
Start
|
┌───────────┴───────────┐
│ │
Heads Tails
(Koin 1) (Koin 1)
| |
┌───┴───┐ ┌───┴───┐
│ │ │ │
Heads Tails Heads Tails
(Koin 2) (Koin 2) (Koin 2) (Koin 2)
| | | |
HH HT TH TT
Koin pertama: 2 kemungkinan (H atau T)
Koin kedua: 2 kemungkinan (H atau T)
Total outcomes = 2 × 2 = 4
Sample Space:
S = {HH, HT, TH, TT}
di mana:
HH = Heads-Heads
HT = Heads-Tails
TH = Tails-Heads
TT = Tails-Tails
Kode akses sistem keamanan rumah terdiri dari 5 digit. Setiap digit dapat berupa 0 sampai 9. Berapa banyak kode berbeda yang tersedia jika:
a) Setiap digit dapat diulang?
setiap dari 5 posisi:
Total kode = 10 × 10 × 10 × 10 × 10
Total kode = 10⁵
Total kode = 100,000 kode
b) Setiap digit hanya dapat digunakan sekali (tidak dapat diulang)?
• Posisi 1: 10 pilihan (0-9)
• Posisi 2: 9 pilihan (satu digit sudah digunakan)
• Posisi 3: 8 pilihan
• Posisi 4: 7 pilihan
• Posisi 5: 6 pilihan
Total kode = 10 × 9 × 8 × 7 × 6
Total kode = 30,240 kode
12. Permutations
Permutation adalah pengaturan terurut dari objek-objek. Dalam permutation, urutan sangat penting.
12.1 Permutation dari n Objek Berbeda
n! = n × (n−1) × (n−2) × (n−3) × ... × 3 × 2 × 1
dibaca: "n faktorial"
Catatan: 0! = 1 (by definition)
Berapa banyak survey berbeda yang diperlukan untuk mencakup semua kemungkinan pengaturan pertanyaan jika ada 7 pertanyaan dalam survey?
Jumlah pengaturan = 7!
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
7! = 5,040
Kesimpulan:
Diperlukan 5,040 survey berbeda untuk mencakup semua
kemungkinan pengaturan pertanyaan.
12.2 Permutation dari n Objek Diambil r pada Satu Waktu
โPแตฃ = n! / (n−r)!
atau
P(n,r) = n! / (n−r)!
Anda diwajibkan membaca 5 buku dari daftar 8 buku. Dalam berapa urutan berbeda Anda dapat membacanya?
n = 8 (total buku)
r = 5 (buku yang akan dibaca)
Perhitungan:
₈P₅ = 8! / (8−5)!
₈P₅ = 8! / 3!
₈P₅ = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1)
₈P₅ = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3!) / 3!
₈P₅ = 8 × 7 × 6 × 5 × 4
₈P₅ = 6,720
Kesimpulan:
Ada 6,720 urutan berbeda untuk membaca 5 buku dari 8 buku.
12.3 Distinguishable Permutations
Ketika ada objek yang identik dalam grup, kita menggunakan distinguishable permutations.
Jumlah distinguishable permutations dari n objek, di mana
n₁ adalah satu tipe, n₂ adalah tipe lain, dst:
n! / (n₁! × n₂! × n₃! × ... × nโ!)
Jessie ingin menanam 10 tanaman di sepanjang trotoar di halaman depannya. Dia memiliki 3 semak mawar, 4 daffodil, dan 3 lily. Dalam berapa cara yang dapat dibedakan tanaman-tanaman tersebut dapat disusun?
Total tanaman (n) = 10
Semak mawar (n₁) = 3
Daffodil (n₂) = 4
Lily (n₃) = 3
Perhitungan:
Distinguishable permutations = 10! / (3! × 4! × 3!)
= 3,628,800 / (6 × 24 × 6)
= 3,628,800 / 864
= 4,200
Kesimpulan:
Ada 4,200 cara yang dapat dibedakan untuk menyusun
10 tanaman tersebut.
13. Combinations
Combination adalah pemilihan r objek dari grup n objek ketika urutan TIDAK penting.
โCแตฃ = n! / [r! × (n−r)!]
atau
C(n,r) = n! / [r! × (n−r)!]
atau
(n choose r) = n! / [r! × (n−r)!]
| Aspek | Permutation | Combination |
|---|---|---|
| Urutan | PENTING | TIDAK PENTING |
| Kata Kunci | "arrange", "order", "schedule" | "select", "choose", "committee" |
| Formula | โPแตฃ = n!/(n−r)! | โCแตฃ = n!/[r!(n−r)!] |
| Hasil | Lebih besar | Lebih kecil |
| Contoh | Urutan finish race | Memilih tim |
Anda diwajibkan membaca 5 buku dari daftar 8 buku. Dalam berapa cara berbeda Anda dapat memilihnya jika urutan tidak penting?
n = 8 (total buku)
r = 5 (buku yang akan dipilih)
Perhitungan:
₈C₅ = 8! / [5! × (8−5)!]
₈C₅ = 8! / (5! × 3!)
₈C₅ = (8 × 7 × 6 × 5!) / (5! × 3 × 2 × 1)
₈C₅ = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1)
₈C₅ = 336 / 6
₈C₅ = 56
Kesimpulan:
Ada 56 cara berbeda untuk memilih 5 buku dari 8 buku.
Pada contoh permutation sebelumnya, ₈P₅ = 6,720 (dengan urutan).
Pada combination ini, ₈C₅ = 56 (tanpa urutan).
Jauh lebih sedikit karena urutan tidak diperhitungkan!
Dalam lotere negara bagian, Anda harus memilih dengan benar 6 angka (dalam urutan apapun) dari 44 angka untuk memenangkan hadiah utama.
a) Berapa banyak cara 6 angka dapat dipilih dari 44 angka?
n = 44 (total angka)
r = 6 (angka yang dipilih)
Perhitungan:
₄₄C₆ = 44! / [6! × (44−6)!]
₄₄C₆ = 44! / (6! × 38!)
₄₄C₆ = (44 × 43 × 42 × 41 × 40 × 39) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
₄₄C₆ = 5,082,517,440 / 720
₄₄C₆ = 7,059,052
Kesimpulan:
Ada 7,059,052 cara berbeda untuk memilih 6 angka dari 44 angka.
b) Jika Anda membeli satu tiket lotere, berapa probabilitas memenangkan hadiah utama?
Hanya ada SATU kombinasi pemenang dari 7,059,052 kemungkinan
P(menang) = 1 / 7,059,052
P(menang) ≈ 0.000000142 atau 0.0000142%
Interpretasi:
Probabilitas memenangkan hadiah utama adalah sekitar
1 dalam 7 juta, atau 0.0000142%.
Dengan kata lain, peluangnya SANGAT KECIL!
๐ Rangkuman Konsep Probabilitas
๐ฏ Ringkasan Formula Utama
| Konsep | Formula | Kapan Digunakan |
|---|---|---|
| Classical Probability | P(E) = n(E) / n(S) | Equally likely outcomes |
| Empirical Probability | P(E) = f / n | Berdasarkan data observasi |
| Complement | P(E') = 1 − P(E) | Probabilitas TIDAK terjadi |
| Multiplication Rule | P(A and B) = P(A)·P(B|A) | Dua events berurutan |
| Addition Rule | P(A or B) = P(A)+P(B)−P(A and B) | Setidaknya satu event terjadi |
| Permutation | โPแตฃ = n! / (n−r)! | Urutan PENTING |
| Combination | โCแตฃ = n! / [r!(n−r)!] | Urutan TIDAK PENTING |
๐ก Decision Tree: Memilih Formula yang Tepat
│
├─ YES → Apakah outcomes equally likely?
│ ├─ YES → Classical Probability: P(E) = n(E)/n(S)
│ └─ NO → Empirical Probability: P(E) = f/n
│
└─ NO → Apakah Anda menghitung pengaturan/pemilihan?
│
├─ Berurutan? → Fundamental Counting: m × n
│
├─ Urutan penting? → Permutation: โPแตฃ
│
└─ Urutan tidak penting? → Combination: โCแตฃ
⚠️ Kesalahan Umum yang Harus Dihindari
- Multiplication vs Addition: "AND" = multiply, "OR" = add
- Independent vs Dependent: Jangan lupa conditional probability untuk dependent events
- Mutually Exclusive: Jangan lupa kurangi P(A and B) jika NOT mutually exclusive
- Permutation vs Combination: Perhatikan apakah urutan penting atau tidak
- Double Counting: Dalam addition rule, hindari menghitung outcome yang sama dua kali
Komentar
Posting Komentar