Turunan Fungsi Trigonometri dan Logaritma: Panduan Lengkap dengan Pembuktian dan Contoh Soal

Turunan atau derivatif fungsi trigonometri dan logaritma adalah salah satu topik fundamental dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas dalam matematika, fisika, teknik, dan ilmu pengetahuan lainnya. Memahami turunan fungsi-fungsi ini sangat penting karena fungsi trigonometri dan logaritma muncul dalam berbagai fenomena alami dan model matematika.

Artikel ini akan membahas secara mendalam tentang turunan fungsi trigonometri (sin, cos, tan, sec, csc, cot), logaritma natural (ln x), fungsi eksponensial (e^x dan a^x), serta logaritma dengan basis sembarang. Setiap rumus akan dijelaskan dengan pembuktian, contoh soal, dan aplikasinya.

📑 Daftar Isi

• 1. Turunan Fungsi Sinus (sin x)
• 2. Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya
• 3. Tabel Rumus Turunan Trigonometri
• 4. Logaritma Natural (ln x)
• 5. Turunan Logaritma Natural
• 6. Fungsi Eksponensial e^x
• 7. Turunan Fungsi Eksponensial
• 8. Logaritma dengan Basis a
• 9. Turunan Logaritma Basis a
• 10. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Turunan Fungsi Sinus (sin x)

Teorema Turunan Sinus

Jika f(x) = sin x, maka f'(x) = cos x

dengan x dalam satuan radian.

Pembuktian dengan Definisi Limit

Kita akan membuktikan turunan sin x menggunakan definisi limit turunan:

f'(x) = lim_h→0 [f(x + h) - f(x)] / h

Langkah 1: Substitusi f(x) = sin x

f'(x) = lim_h→0 [sin(x + h) - sin x] / h

Langkah 2: Gunakan identitas trigonometri

sin(x + h) = sin x · cos h + cos x · sin h

f'(x) = lim_h→0 [sin x · cos h + cos x · sin h - sin x] / h

Langkah 3: Faktorisasi

f'(x) = lim_h→0 [sin x(cos h - 1) + cos x · sin h] / h

Langkah 4: Pisahkan limit

f'(x) = lim_h→0 [sin x · (cos h - 1)/h] + lim_h→0 [cos x · sin h/h]

Langkah 5: Gunakan limit khusus

• lim_h→0 (cos h - 1)/h = 0
• lim_h→0 sin h/h = 1

f'(x) = sin x · 0 + cos x · 1 = cos x

💡 Catatan Penting

• Turunan ini hanya berlaku untuk x dalam radian, bukan derajat
• Jika x dalam derajat, rumusnya menjadi: d/dx(sin x°) = (π/180) cos x°
• Selalu pastikan kalkulator atau sistem yang digunakan dalam mode radian

2. Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya

Dengan metode yang sama (menggunakan limit dan identitas trigonometri), kita dapat menemukan turunan fungsi trigonometri lainnya.

Turunan Cosinus

Jika f(x) = cos x, maka:

f'(x) = -sin x

Turunan Tangen

Karena tan x = sin x / cos x, gunakan aturan quotient:

d/dx(tan x) = d/dx(sin x / cos x)

= [cos x · cos x - sin x · (-sin x)] / cos²x

= (cos²x + sin²x) / cos²x = 1 / cos²x = sec²x

Jika f(x) = tan x, maka:

f'(x) = sec²x

Turunan Secan, Cosecan, dan Cotangen

Secan (sec x = 1/cos x):

d/dx(sec x) = sec x tan x

Cosecan (csc x = 1/sin x):

d/dx(csc x) = -csc x cot x

Cotangen (cot x = cos x/sin x):

d/dx(cot x) = -csc²x

3. Tabel Rumus Turunan Trigonometri

📋 Rumus Lengkap Turunan Fungsi Trigonometri

Fungsi f(x)	Turunan f'(x)	Catatan
sin x	cos x	Turunan sinus adalah cosinus
cos x	-sin x	Ada tanda negatif
tan x	sec²x	Ekuivalen dengan 1/cos²x
sec x	sec x tan x	Hasil kali sec x dan tan x
csc x	-csc x cot x	Ada tanda negatif
cot x	-csc²x	Ada tanda negatif, ekuivalen -1/sin²x

Rumus dengan Chain Rule

Jika u adalah fungsi dari x, maka:

• d/dx(sin u) = cos u · du/dx
• d/dx(cos u) = -sin u · du/dx
• d/dx(tan u) = sec²u · du/dx
• d/dx(sec u) = sec u tan u · du/dx
• d/dx(csc u) = -csc u cot u · du/dx
• d/dx(cot u) = -csc²u · du/dx

📌 Contoh Aplikasi Chain Rule

Soal 1: Cari turunan y = sin(3x)

Penyelesaian:

Misalkan u = 3x, maka du/dx = 3

dy/dx = cos(3x) · 3 = 3cos(3x)

Soal 2: Cari turunan y = tan(x²)

Penyelesaian:

Misalkan u = x², maka du/dx = 2x

dy/dx = sec²(x²) · 2x = 2x sec²(x²)

4. Logaritma Natural (ln x)

Definisi Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan basis e (bilangan Euler), dimana:

e ≈ 2.71828182845...

Bilangan e didefinisikan sebagai bilangan yang memenuhi:

ln(e) = 1

Properti Logaritma Natural

Sifat-Sifat ln x

1. Logaritma Perkalian:

ln(ax) = ln a + ln x

2. Logaritma Pembagian:

ln(a/x) = ln a - ln x

3. Logaritma Kebalikan:

ln(1/x) = -ln x

4. Logaritma Pangkat:

ln(x^r) = r ln x

💡 Catatan Penting

• Logaritma natural hanya didefinisikan untuk x > 0
• ln 1 = 0 karena e⁰ = 1
• ln e = 1 (definisi)
• ln e^x = x untuk semua x

5. Turunan Logaritma Natural

Teorema Turunan ln x

Jika f(x) = ln x, maka f'(x) = 1/x

untuk x > 0

Turunan ln u (Chain Rule)

Jika u adalah fungsi dari x (u > 0), maka:

d/dx(ln u) = (1/u) · du/dx

📌 Contoh Soal Turunan ln x

Contoh 1: Cari turunan y = ln(x²)

Penyelesaian:

Cara 1: Gunakan chain rule

dy/dx = (1/x²) · 2x = 2/x

Cara 2: Gunakan properti logaritma

y = ln(x²) = 2 ln x

dy/dx = 2 · (1/x) = 2/x

Contoh 2: Cari turunan y = ln(sin x)

Penyelesaian:

Misalkan u = sin x, maka du/dx = cos x

dy/dx = (1/sin x) · cos x = cos x / sin x = cot x

6. Fungsi Eksponensial e^x

Fungsi Invers Logaritma Natural

Fungsi eksponensial natural y = e^x adalah fungsi invers dari y = ln x

Hubungan antara keduanya:

• e^{ln x} = x untuk x > 0
• ln(e^x) = x untuk semua x

Aturan Fungsi Eksponensial e^x

Sifat-Sifat e^x

1. Perkalian Eksponensial:

e^x₁ · e^x₂ = e^x₁+x₂

2. Kebalikan Eksponensial:

e^-x = 1/e^x

3. Pembagian Eksponensial:

e^x₁ / e^x₂ = e^x₁-x₂

4. Pangkat Eksponensial:

(e^x₁)^x₂ = e^x₁·x₂ = (e^x₂)^x₁

7. Turunan Fungsi Eksponensial

Teorema Turunan e^x

Jika f(x) = e^x, maka f'(x) = e^x

Fungsi eksponensial e^x adalah satu-satunya fungsi yang turunannya sama dengan fungsi itu sendiri!

Turunan e^u (Chain Rule)

Jika u adalah fungsi dari x, maka:

d/dx(e^u) = e^u · du/dx

📌 Contoh Soal Turunan e^x

Contoh 1: Cari turunan y = e^2x

Penyelesaian:

Misalkan u = 2x, maka du/dx = 2

dy/dx = e^2x · 2 = 2e^2x

Contoh 2: Cari turunan y = e^{sin x}

Penyelesaian:

Misalkan u = sin x, maka du/dx = cos x

dy/dx = e^{sin x} · cos x

Contoh 3: Cari turunan y = x · e^x

Penyelesaian:

Gunakan product rule: (uv)' = u'v + uv'

dy/dx = 1 · e^x + x · e^x = e^x(1 + x)

Fungsi Eksponensial dengan Basis a

Turunan a^x

Untuk a > 0 dan a ≠ 1, fungsi eksponensial dengan basis a dapat ditulis:

a^x = e^{x ln a}

Maka turunannya:

d/dx(a^x) = a^x ln a

Jika u adalah fungsi dari x:

d/dx(a^u) = a^u ln a · du/dx

📌 Contoh Turunan a^x

Contoh 1: d/dx(3^x) = 3^x ln 3

Contoh 2: d/dx(4^{cos x})

Penyelesaian:

Misalkan u = cos x, maka du/dx = -sin x

d/dx(4^{cos x}) = 4^{cos x} · ln 4 · (-sin x) = -4^{cos x} ln 4 sin x

Contoh 3: d/dx(2^{sin 3x})

Penyelesaian:

Misalkan u = sin 3x, maka du/dx = 3 cos 3x

d/dx(2^{sin 3x}) = 2^{sin 3x} · ln 2 · 3 cos 3x = 3 · 2^{sin 3x} · ln 2 · cos 3x

8. Logaritma dengan Basis a

Definisi Logaritma Basis a

Untuk bilangan positif a ≠ 1, logaritma basis a didefinisikan sebagai:

log_a x adalah invers dari a^x

Artinya:

• a^{log_a x} = x untuk x > 0
• log_a(a^x) = x untuk semua x

Konversi ke Logaritma Natural

Rumus Konversi

Logaritma basis a dapat diubah ke logaritma natural:

log_a x = (ln x) / (ln a) = (1/ln a) · ln x

Rumus ini sangat berguna untuk mencari turunan log_a x

📌 Contoh Konversi

Contoh 1: log₂ 8 = (ln 8)/(ln 2) = (ln 2³)/(ln 2) = (3 ln 2)/(ln 2) = 3

Contoh 2: log₁₀ 100 = (ln 100)/(ln 10) = (ln 10²)/(ln 10) = 2

9. Turunan Logaritma Basis a

Teorema Turunan log_a x

d/dx(log_a x) = 1/(x ln a)

Jika u adalah fungsi dari x (u > 0):

d/dx(log_a u) = 1/(ln a) · (1/u) · du/dx

Pembuktian

Menggunakan rumus konversi: log_a x = (ln x)/(ln a)

d/dx(log_a x) = d/dx[(1/ln a) · ln x]

= (1/ln a) · d/dx(ln x)

= (1/ln a) · (1/x) = 1/(x ln a)

📌 Contoh Turunan log_a x

Contoh 1: Cari turunan y = log₉(x² + 2)

Penyelesaian:

Misalkan u = x² + 2, maka du/dx = 2x

dy/dx = 1/(ln 9) · 1/(x² + 2) · 2x = 2x/[(x² + 2) ln 9]

Contoh 2: Cari turunan y = 3^{tan x} ln 3

Penyelesaian:

d/dx(3^{tan x} ln 3) = 3^{tan x} ln 3 · d/dx(tan x)

= 3^{tan x} ln 3 · sec²x

10. Contoh Soal dan Pembahasan

Latihan Soal Trigonometri

Soal 1: y = (sec x + tan x)(sec x - tan x)

Penyelesaian:

Sederhanakan terlebih dahulu:

y = sec²x - tan²x = 1 (identitas trigonometri)

Turunan konstanta adalah 0:

dy/dx = 0

Soal 2: s = (1 + sec t)/(1 - sec t)

Penyelesaian:

Gunakan quotient rule: (u/v)' = (u'v - uv')/v²

u = 1 + sec t, u' = sec t tan t

v = 1 - sec t, v' = -sec t tan t

ds/dt = [(sec t tan t)(1 - sec t) - (1 + sec t)(-sec t tan t)] / (1 - sec t)²

= [sec t tan t - sec²t tan t + sec t tan t + sec²t tan t] / (1 - sec t)²

= 2 sec t tan t / (1 - sec t)²

Soal 3: r = sin θ/(1 - cos θ)

Penyelesaian:

Gunakan quotient rule:

u = sin θ, u' = cos θ

v = 1 - cos θ, v' = sin θ

dr/dθ = [(cos θ)(1 - cos θ) - (sin θ)(sin θ)] / (1 - cos θ)²

= [cos θ - cos²θ - sin²θ] / (1 - cos θ)²

= [cos θ - 1] / (1 - cos θ)² = -1/(1 - cos θ)

Latihan Soal Eksponensial

Soal 4: d/dx(3ˣ)

Penyelesaian:

d/dx(3ˣ) = 3ˣ ln 3

Soal 5: d/dx(2^(sin 3x))

Penyelesaian:

Gunakan chain rule dengan u = sin 3x

du/dx = 3 cos 3x

d/dx(2^(sin 3x)) = 2^(sin 3x) · ln 2 · 3 cos 3x

= 3 ln 2 · 2^(sin 3x) · cos 3x

Soal 6: d/dx(5^(x²))

Penyelesaian:

Gunakan chain rule dengan u = x²

du/dx = 2x

d/dx(5^(x²)) = 5^(x²) · ln 5 · 2x = 2x ln 5 · 5^(x²)

Soal Campuran (Latihan Mandiri)

Latihan untuk Anda:

1. Cari turunan y = e^(3x) · sin(2x)
2. Cari turunan y = ln(cos x)
3. Cari turunan y = tan²(3x)
4. Cari turunan y = x · e^(-x)
5. Cari turunan y = log₁₀(x² + 1)
6. Cari turunan y = e^x / (1 + e^x)
7. Cari turunan y = sin x · cos x
8. Cari turunan y = 10^(2x+1)

💡 Tips Mengerjakan Soal

• Identifikasi jenis fungsi: trigonometri, logaritma, atau eksponensial
• Tentukan apakah perlu chain rule, product rule, atau quotient rule
• Sederhanakan fungsi jika memungkinkan sebelum menurunkan
• Gunakan identitas trigonometri atau properti logaritma untuk menyederhanakan
• Periksa kembali hasil akhir dan sederhanakan jika perlu
• Latihan teratur adalah kunci menguasai turunan

Ringkasan Rumus Penting

Turunan Trigonometri

• d/dx(sin x) = cos x
• d/dx(cos x) = -sin x
• d/dx(tan x) = sec²x

Turunan Logaritma

• d/dx(ln x) = 1/x
• d/dx(log_a x) = 1/(x ln a)

Turunan Eksponensial

• d/dx(e^x) = e^x
• d/dx(a^x) = a^x ln a

🎯 Kesimpulan

Turunan fungsi trigonometri dan logaritma adalah fondasi penting dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas dalam matematika, fisika, teknik, dan sains. Memahami rumus-rumus dasar dan mampu mengaplikasikannya dengan chain rule, product rule, dan quotient rule adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai masalah kalkulus yang lebih kompleks.

Kunci sukses menguasai materi ini adalah:

• Hafalkan rumus dasar - turunan fungsi trigonometri, ln x, dan e^x
• Pahami chain rule - sangat sering digunakan dalam soal
• Latihan rutin - kerjakan berbagai variasi soal
• Gunakan identitas - sederhanakan fungsi sebelum diturunkan jika memungkinkan