Distribusi probabilitas diskrit adalah salah satu konsep fundamental dalam statistika dan probabilitas yang digunakan untuk memodelkan fenomena yang memiliki hasil yang dapat dihitung (countable). Berbeda dengan distribusi kontinu, distribusi diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang dapat dicacah, seperti jumlah mahasiswa di kelas, hasil pelemparan dadu, atau jumlah kecelakaan dalam sebulan.
Artikel ini akan membahas secara komprehensif berbagai jenis distribusi probabilitas diskrit, termasuk random variables, binomial distribution, geometric distribution, dan Poisson distribution, beserta aplikasinya dalam menyelesaikan masalah nyata.
📑 Daftar Isi
1. Random Variables (Variabel Acak)
Random variable (variabel acak) x adalah variabel yang merepresentasikan nilai numerik yang terkait dengan setiap outcome (hasil) dari suatu distribusi probabilitas.
1.1 Discrete Random Variable
Random variable adalah diskrit jika memiliki jumlah outcomes yang terbatas atau dapat dihitung (countable) yang dapat dilist.
Discrete Random Variable
|———————|———————|———————|———————| x
0 2 4 6 8 10
Nilai-nilai diskrit (titik-titik terpisah)
1.2 Continuous Random Variable
Random variable adalah kontinu jika memiliki jumlah outcomes yang tidak terhitung (uncountable), direpresentasikan oleh interval pada garis bilangan.
Continuous Random Variable
0 2 4 6 8 10
Nilai kontinu (garis kontinu, tidak ada celah)
a) Jarak yang ditempuh mobil dengan satu tangki bensin
Jarak adalah pengukuran (measurement) yang tidak dapat dihitung.
Semua pengukuran adalah continuous random variables.
Contoh nilai: 450.5 km, 450.52 km, 450.523 km, dst.
Tidak ada nilai yang "hilang" di antara dua nilai.
b) Jumlah mahasiswa dalam kelas statistik
Jumlah mahasiswa adalah counting (perhitungan) yang dapat dihitung.
Contoh nilai: 20, 21, 22, 23, ..., 50 mahasiswa
Tidak mungkin ada 20.5 mahasiswa (nilai terpisah-pisah).
- Discrete: Dapat dijawab dengan "berapa banyak?" (counting)
- Continuous: Dapat dijawab dengan "berapa jauh/panjang/tinggi/berat?" (measurement)
- Discrete: Nilai terpisah, ada "celah" antara nilai
- Continuous: Nilai kontinu, tidak ada celah
2. Discrete Probability Distributions
Discrete probability distribution adalah daftar yang menampilkan setiap nilai yang mungkin dari random variable beserta probabilitasnya.
Syarat Distribusi Probabilitas Diskrit
Suatu distribusi probabilitas harus memenuhi kondisi berikut:
| Dalam Kata-Kata | Dalam Simbol |
|---|---|
| 1. Probabilitas setiap nilai dari discrete random variable adalah antara 0 dan 1, inklusif | 0 ≤ P(x) ≤ 1 |
| 2. Jumlah semua probabilitas adalah 1 | ΣP(x) = 1 |
3. Membuat Distribusi Probabilitas Diskrit
Langkah-Langkah Membuat Discrete Probability Distribution
Misalkan x adalah discrete random variable dengan outcomes x₁, x₂, ..., xₙ
- Buat frequency distribution untuk possible outcomes
- Cari jumlah frekuensi
- Cari probabilitas setiap outcome dengan membagi frekuensinya dengan jumlah total frekuensi
- Periksa bahwa setiap probabilitas antara 0 dan 1, dan jumlahnya adalah 1
Spinner dibagi menjadi dua bagian. Probabilitas mendarat di angka 1 adalah 0.25. Probabilitas mendarat di angka 2 adalah 0.75. Misalkan x adalah angka yang didarati spinner. Buat probability distribution untuk random variable x.
| x | P(x) |
|---|---|
| 1 | 0.25 |
| 2 | 0.75 |
| Total | 1.00 |
- Setiap probabilitas antara 0 dan 1: ✓
- Jumlah probabilitas = 0.25 + 0.75 = 1.00: ✓
Spinner yang sama diputar dua kali. Probabilitas mendarat di 1 adalah 0.25, dan di 2 adalah 0.75. Misalkan x adalah jumlah dari dua putaran. Buat probability distribution untuk x.
Kemungkinan Hasil:
| Spin 1 | Spin 2 | Jumlah |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 4 |
Perhitungan Probabilitas:
= P(spin 1 = 1 AND spin 2 = 1)
= 0.25 × 0.25
= 0.0625
P(jumlah = 3):
= P(1,2) OR P(2,1)
= P(1,2) + P(2,1)
= (0.25 × 0.75) + (0.75 × 0.25)
= 0.1875 + 0.1875
= 0.375
P(jumlah = 4):
= P(spin 1 = 2 AND spin 2 = 2)
= 0.75 × 0.75
= 0.5625
Probability Distribution:
| Jumlah (x) | P(x) |
|---|---|
| 2 | 0.0625 |
| 3 | 0.375 |
| 4 | 0.5625 |
| Total | 1.0000 |
3.1 Histogram Distribusi Probabilitas
Histogram: Jumlah Dua Spin
0.6 |
| ▓▓▓▓▓▓
0.5 | ▓▓▓▓▓▓
| ▓▓▓▓▓▓
0.4 | ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓
| ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓
0.3 | ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓
| ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓
0.2 | ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓
| ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓
0.1 | ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓
| ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓ ▓▓▓▓▓▓
0 |___________________________________ x
2 3 4
Jumlah
4. Mean, Variance, dan Standard Deviation
4.1 Mean dari Discrete Random Variable
μ = ΣxP(x)
Setiap nilai x dikalikan dengan probabilitas yang sesuai,
kemudian hasilnya dijumlahkan.
| x | P(x) | xP(x) |
|---|---|---|
| 2 | 0.0625 | 2(0.0625) = 0.125 |
| 3 | 0.375 | 3(0.375) = 1.125 |
| 4 | 0.5625 | 4(0.5625) = 2.25 |
| ΣxP(x) = | 3.5 | |
Mean untuk jumlah dua spin adalah μ = 3.5
4.2 Variance dari Discrete Random Variable
σ² = Σ(x − μ)²P(x)
Mean = 3.5. Tentukan variance.
| x | P(x) | x − μ | (x − μ)² | P(x)(x − μ)² |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 0.0625 | −1.5 | 2.25 | ≈ 0.141 |
| 3 | 0.375 | −0.5 | 0.25 | ≈ 0.094 |
| 4 | 0.5625 | 0.5 | 0.25 | ≈ 0.141 |
| ΣP(x)(x − μ)² = | ≈ 0.376 | |||
Variance untuk jumlah dua spin adalah σ² ≈ 0.376
4.3 Standard Deviation dari Discrete Random Variable
σ = √(σ²)
Variance = 0.376. Tentukan standard deviation.
σ = √(σ²)
σ = √(0.376)
σ ≈ 0.613
Interpretasi:
Sebagian besar jumlah berbeda dari mean tidak lebih dari
0.6 poin.
5. Expected Value (Nilai Harapan)
Expected value dari discrete random variable adalah sama dengan mean dari random variable tersebut.
E(x) = μ = ΣxP(x)
Dalam undian, 500 tiket dijual seharga $1 per tiket untuk dua hadiah: $100 dan $50. Berapa expected value dari keuntungan Anda?
Analisis:
Keuntungan untuk hadiah $50 = $50 − $1 = $49
Keuntungan untuk tidak menang = −$1 (rugi harga tiket)
Probability Distribution:
| Keuntungan (x) | P(x) |
|---|---|
| $99 | 1/500 |
| $49 | 1/500 |
| −$1 | 498/500 |
E(x) = ΣxP(x)
E(x) = $99 × (1/500) + $49 × (1/500) + (−$1) × (498/500)
E(x) = $99/500 + $49/500 + (−$498/500)
E(x) = ($99 + $49 − $498) / 500
E(x) = −$350 / 500
E(x) = −$0.70
Interpretasi:
Karena expected value adalah negatif, Anda dapat mengharapkan
untuk rugi $0.70 untuk setiap tiket yang Anda beli.
- E(x) > 0: Game/situasi menguntungkan (fair untuk Anda)
- E(x) = 0: Game/situasi fair (break-even)
- E(x) < 0: Game/situasi merugikan (fair untuk penyelenggara)
6. Binomial Distribution
Binomial distribution adalah salah satu distribusi probabilitas diskrit yang paling penting dan paling sering digunakan dalam praktik.
6.1 Binomial Experiment
Syarat-Syarat Binomial Experiment
Suatu eksperimen probabilitas adalah binomial experiment jika memenuhi kondisi berikut:
- Eksperimen diulang untuk jumlah trial tetap (n), di mana setiap trial independent dari trial lain
- Hanya ada dua kemungkinan outcome untuk setiap trial: Success (S) atau Failure (F)
- Probabilitas success P(S) adalah konstan untuk setiap trial
- Random variable x menghitung jumlah successful trials
6.2 Notasi untuk Binomial Experiments
| Simbol | Deskripsi |
|---|---|
| n | Jumlah kali trial diulang |
| p = P(S) | Probabilitas success dalam satu trial |
| q = P(F) | Probabilitas failure dalam satu trial (q = 1 − p) |
| x | Random variable yang merepresentasikan jumlah successes dalam n trials: x = 0, 1, 2, 3, ..., n |
Situasi 1: Anda memilih kartu secara acak dari deck kartu, dan mencatat apakah kartu tersebut Ace. Anda kemudian mengembalikan kartu dan mengulangi proses ini 8 kali.
✓ Trial tetap: n = 8
✓ Dua outcome: Ace atau Bukan Ace
✓ Independent: Kartu dikembalikan setiap kali
✓ Probabilitas konstan: p = 4/52 = 1/13 setiap trial
Kesimpulan: INI ADALAH BINOMIAL EXPERIMENT
n = 8
p = 4/52 = 1/13
q = 1 − 1/13 = 12/13
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Situasi 2: Anda melempar dadu 10 kali dan mencatat angka yang muncul.
✓ Trial tetap: n = 10
✗ TIDAK dua outcome: Ada 6 kemungkinan (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Kesimpulan: INI BUKAN BINOMIAL EXPERIMENT
Alasan: Ada lebih dari dua kemungkinan outcome untuk setiap trial.
6.3 Binomial Probability Formula
Dalam binomial experiment, probabilitas exactly x successes
dalam n trials adalah:
P(x) = ₙCₓ · pˣ · qⁿ⁻ˣ
atau
P(x) = [n! / (n−x)!x!] · pˣ · qⁿ⁻ˣ
Sebuah kantong berisi 10 chip. 3 chip merah, 5 chip putih, dan 2 chip biru. Tiga chip dipilih, dengan replacement. Tentukan probabilitas memilih tepat satu chip merah.
n = 3 (tiga chip dipilih)
x = 1 (tepat satu chip merah)
p = P(merah) = 3/10 = 0.3
q = 1 − p = 0.7
Perhitungan:
P(1) = ₃C₁ · (0.3)¹ · (0.7)³⁻¹
P(1) = 3 · (0.3)¹ · (0.7)²
P(1) = 3 · (0.3) · (0.49)
P(1) = 3 · 0.147
P(1) = 0.441
Kesimpulan:
Probabilitas memilih tepat satu chip merah adalah 0.441 atau 44.1%
Kantong yang sama: 3 merah, 5 putih, 2 biru. Empat chip dipilih dengan replacement. Buat probability distribution untuk jumlah chip merah yang dipilih.
n = 4
p = 0.3
q = 0.7
x = 0, 1, 2, 3, 4
| x | Perhitungan | P(x) |
|---|---|---|
| 0 | ₄C₀(0.3)⁰(0.7)⁴ | 0.240 |
| 1 | ₄C₁(0.3)¹(0.7)³ | 0.412 |
| 2 | ₄C₂(0.3)²(0.7)² | 0.265 |
| 3 | ₄C₃(0.3)³(0.7)¹ | 0.076 |
| 4 | ₄C₄(0.3)⁴(0.7)⁰ | 0.008 |
| Total | 1.001 ≈ 1.00 | |
6.4 Finding Probabilities dengan Binomial Distribution
Menggunakan distribusi di atas, tentukan:
a) P(tidak lebih dari 3 chip merah)
= 0.240 + 0.412 + 0.265 + 0.076
= 0.993
Interpretasi: 99.3% kemungkinan memilih 0, 1, 2, atau 3 chip merah
b) P(setidaknya 1 chip merah)
P(x ≥ 1) = 1 − P(0)
= 1 − 0.240
= 0.76
Metode 2: Penjumlahan Langsung
P(x ≥ 1) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
= 0.412 + 0.265 + 0.076 + 0.008
= 0.761
Interpretasi: 76% kemungkinan memilih setidaknya satu chip merah
6.5 Mean, Variance, dan Standard Deviation Binomial Distribution
Mean: μ = np
Variance: σ² = npq
Standard Deviation: σ = √(npq)
Satu dari 5 mahasiswa di college lokal mengatakan bahwa mereka melewatkan sarapan di pagi hari. Tentukan mean, variance, dan standard deviation jika 10 mahasiswa dipilih secara acak.
n = 10 (jumlah mahasiswa)
p = 1/5 = 0.2 (probabilitas melewatkan sarapan)
q = 1 − 0.2 = 0.8
Mean:
μ = np
μ = 10(0.2)
μ = 2
Variance:
σ² = npq
σ² = (10)(0.2)(0.8)
σ² = 1.6
Standard Deviation:
σ = √(npq)
σ = √1.6
σ ≈ 1.3
Interpretasi:
• Rata-rata, 2 mahasiswa dari 10 melewatkan sarapan
• Standard deviation sekitar 1.3 mahasiswa
• Sebagian besar samples akan memiliki antara 0-4 mahasiswa
yang melewatkan sarapan (dalam ±2σ dari mean)
7. Geometric Distribution
Geometric distribution adalah distribusi probabilitas diskrit dari random variable x yang mengukur trial mana success pertama terjadi.
Syarat-Syarat Geometric Distribution
- Trial diulang sampai success terjadi
- Repeated trials adalah independent
- Probabilitas success p adalah konstan untuk setiap trial
Probabilitas success pertama terjadi pada trial x adalah:
P(x) = p · qˣ⁻¹
di mana q = 1 − p
Sebuah fast food chain menempatkan hadiah menang pada setiap kemasan French fries kelima. Tentukan probabilitas Anda menang hadiah:
a) Dengan pembelian French fries ketiga Anda
p = 0.20 (probabilitas menang = 1/5)
q = 0.80
x = 3 (menang pada trial ketiga)
Perhitungan:
P(3) = p · q³⁻¹
P(3) = (0.2) · (0.8)²
P(3) = (0.2) · (0.64)
P(3) = 0.128
Interpretasi:
Probabilitas menang pada pembelian ketiga adalah 12.8%
b) Dengan pembelian ketiga ATAU keempat
P(3 or 4) = P(3) + P(4)
P(4) = (0.2) · (0.8)⁴⁻¹
P(4) = (0.2) · (0.8)³
P(4) = (0.2) · (0.512)
P(4) = 0.102
P(3 or 4) = 0.128 + 0.102
P(3 or 4) = 0.230
Interpretasi:
Probabilitas menang pada pembelian ketiga atau keempat adalah 23%
8. Poisson Distribution
Poisson distribution adalah distribusi probabilitas diskrit yang digunakan untuk menghitung jumlah kejadian dalam interval tertentu (waktu, area, atau volume).
Syarat-Syarat Poisson Distribution
- Eksperimen terdiri dari menghitung jumlah kali event x terjadi dalam interval tertentu (waktu, area, atau volume)
- Probabilitas event terjadi adalah sama untuk setiap interval
- Jumlah occurrences dalam satu interval adalah independent dari jumlah occurrences dalam interval lain
Probabilitas exactly x occurrences dalam interval adalah:
P(x) = (μˣ · e⁻ᵘ) / x!
di mana:
• e ≈ 2.71828
• μ = mean jumlah occurrences dalam interval
Mean jumlah power outages di kota Brunswick adalah 4 per tahun. Tentukan probabilitas bahwa dalam tahun tertentu:
a) Terjadi tepat 3 outages
μ = 4 (mean outages per tahun)
x = 3 (tepat 3 outages)
Perhitungan:
P(3) = (μ³ · e⁻ᵘ) / 3!
P(3) = (4³ · e⁻⁴) / 3!
P(3) = (64 · 0.01832) / 6
P(3) = 1.172 / 6
P(3) ≈ 0.195
Interpretasi:
Probabilitas terjadi tepat 3 outages adalah 19.5%
b) Terjadi lebih dari 3 outages
P(x > 3) = 1 − P(x ≤ 3)
= 1 − [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)]
Perhitungan setiap probabilitas:
P(0) = (4⁰ · e⁻⁴) / 0! ≈ 0.018
P(1) = (4¹ · e⁻⁴) / 1! ≈ 0.073
P(2) = (4² · e⁻⁴) / 2! ≈ 0.147
P(3) = (4³ · e⁻⁴) / 3! ≈ 0.195
Total:
P(x ≤ 3) = 0.018 + 0.073 + 0.147 + 0.195
= 0.433
P(x > 3) = 1 − 0.433
= 0.567
Interpretasi:
Probabilitas terjadi lebih dari 3 outages adalah 56.7%
🎯 Latihan dan Soal Praktis
Dalam undian, 1500 tiket dijual seharga IDR 20.000 per tiket untuk empat hadiah: IDR 500.000, IDR 250.000, IDR 150.000, dan IDR 75.000. Anda membeli satu tiket. Berapa expected value dari keuntungan Anda?
Harga tiket = IDR 20.000
Keuntungan untuk hadiah IDR 500.000 = 500.000 − 20.000 = IDR 480.000
Keuntungan untuk hadiah IDR 250.000 = 250.000 − 20.000 = IDR 230.000
Keuntungan untuk hadiah IDR 150.000 = 150.000 − 20.000 = IDR 130.000
Keuntungan untuk hadiah IDR 75.000 = 75.000 − 20.000 = IDR 55.000
Keuntungan untuk tidak menang = −IDR 20.000
Probability Distribution:
| Keuntungan (x) | P(x) | xP(x) |
|---|---|---|
| IDR 480.000 | 1/1500 | 320 |
| IDR 230.000 | 1/1500 | 153.33 |
| IDR 130.000 | 1/1500 | 86.67 |
| IDR 55.000 | 1/1500 | 36.67 |
| −IDR 20.000 | 1496/1500 | −19,946.67 |
E(x) = ΣxP(x)
E(x) = 320 + 153.33 + 86.67 + 36.67 − 19,946.67
E(x) = −IDR 19,350
Kesimpulan:
Expected value dari keuntungan Anda adalah −IDR 19,350 atau
sekitar −IDR 19.350 per tiket.
Ini berarti Anda dapat mengharapkan untuk rugi sekitar
IDR 19.350 untuk setiap tiket yang Anda beli.
Mean jumlah kecelakaan per bulan di persimpangan Jurong di Jababeka City adalah tiga. Berapa probabilitas empat kecelakaan akan terjadi di persimpangan ini dalam bulan tertentu?
μ = 3 (mean kecelakaan per bulan)
x = 4 (tepat 4 kecelakaan)
Perhitungan:
P(x) = (μˣ · e⁻ᵘ) / x!
P(4) = (3⁴ · e⁻³) / 4!
P(4) = (81 · e⁻³) / 24
P(4) = (81 · 0.04979) / 24
P(4) = 4.033 / 24
P(4) ≈ 0.168
Kesimpulan:
Probabilitas tepat empat kecelakaan akan terjadi di
persimpangan Jurong dalam bulan tertentu adalah sekitar
0.168 atau 16.8%.
📝 Rangkuman Distribusi Probabilitas Diskrit
🎯 Ringkasan Konsep Utama
| Distribusi | Karakteristik | Formula | Kapan Digunakan |
|---|---|---|---|
| Binomial | • n trial tetap • 2 outcomes • p konstan |
P(x) = ₙCₓ pˣqⁿ⁻ˣ | Menghitung jumlah success dalam n trial |
| Geometric | • Trial sampai success • p konstan |
P(x) = p · qˣ⁻¹ | Menghitung trial mana success pertama terjadi |
| Poisson | • Counting events • Dalam interval • Independent |
P(x) = (μˣe⁻ᵘ)/x! | Menghitung events dalam interval waktu/area/volume |
Binomial Distribution
Contoh Aplikasi:
- Jumlah produk cacat dalam batch
- Jumlah mahasiswa lulus ujian
- Jumlah koin yang heads dalam n lemparan
Parameter:
- Mean: μ = np
- Variance: σ² = npq
- Std Dev: σ = √(npq)
Geometric Distribution
Contoh Aplikasi:
- Pembelian ke berapa menang hadiah
- Panggilan ke berapa mendapat jawaban
- Trial ke berapa berhasil
Karakteristik:
- Fokus pada trial pertama success
- Tidak ada batas atas untuk x
Poisson Distribution
Contoh Aplikasi:
- Jumlah kecelakaan per bulan
- Jumlah panggilan per jam
- Jumlah cacat per meter kain
Parameter:
- Mean = Variance = μ
- Std Dev: σ = √μ
💡 Tips Memilih Distribusi yang Tepat
1. Apakah ada jumlah trial TETAP?
→ YA: Pertimbangkan Binomial
→ TIDAK: Lanjut ke #2
2. Apakah Anda menghitung TRIAL MANA success terjadi?
→ YA: Gunakan Geometric
→ TIDAK: Lanjut ke #3
3. Apakah Anda menghitung EVENTS dalam INTERVAL?
→ YA: Gunakan Poisson
→ TIDAK: Gunakan distribusi lain atau empirical probability
⚠️ Kesalahan Umum yang Harus Dihindari
- Menggunakan binomial tanpa memverifikasi bahwa p konstan
- Lupa bahwa geometric menghitung trial ke-x (bukan x successes)
- Menggunakan Poisson untuk data yang tidak independent
- Melupakan bahwa q = 1 − p dalam formula binomial
- Salah menghitung kombinasi (ₙCₓ) dalam binomial
Komentar
Posting Komentar